Контрольная работа № 2 по теории игр
1. Дерево игры для двух игроков представлено на рисунке. Первым делает ход игрок К, выбирая вверх (u) или вниз (d), затем ход переходит к игроку S, который выбирает между ходом влево (l) или вправо (r), затем ход опять у игрока К, а потом опять у игрока S.
Взяв свои фамилию и имя, как бесконечные наборы символов (коковинкоков..) (сергейсерг…) задайте выигрыши игроков в терминальных вершинах дерева, как показано на рисунке, заменив буквы на их номера в алфавите («а»=1, «б»=2, …)
а) Сколько стратегий у каждого из игроков?
б) Найдите обратной индукцией совершенные подыгровые равновесия по Нэшу. Выпишите равновесные стратегии каждого игрока. (Будьте внимательны! Стратегия - это описание хода в каждом информационном множестве!)
в) Представьте эту игру в нормальной (матричной) форме. Есть ли равновесия по Нэшу в чистых стратегиях? Есть ли среди них «нужные» равновесия? А «лишние» равновесия?
2. В этой игре И и Ф - это число букв в ваших имени и фамилии.
Мама уходя, оставила детям (брату с сестрой) свежеиспеченный пирог P, наказав им поделить его между собой.
Дети обладают некоторой долей нетерпеливости (коэффициентами дисконтирования)- свежий пирог они любят больше, причем за каждый час ценность пирога с точки зрения брата уменьшается в И раз, а с точки зрения сестры – в Ф раз
Схема дележа такая - сперва старший брат предлагает сестре дележ: долю α1 себе, а оставшуюся (1- α1) сестре. Если сестра согласна, то они получают соответственно: - брату и – сестре, после чего игра заканчивается.
Если сестра не согласна, то они целый час ссорятся (при этом ценность пирога для них уменьшается), а потом свое решение дележа пирога предлагает сестра: долю β1 себе, а брату - (1- β1). Если брат согласен, то пирог в таком отношении и делится, при этом ценность его для брата составляет с учетом дисконтирования , а для сестры .
Если же брат со схемой дележа не согласен, то дети опять целый час ссорятся (пирог продолжает терять свою ценность), а потом делить пирог опять берется брат, предлагая долю α2 себе, а (1- α2) сестре. Если сестра согласна, то они получают свои доли с учетом оставшейся ценности пирога: соответственно: - брату и – сестре, после чего игра заканчивается.
Если сестра опять недовольна, то они опять целый час ссорятся, после чего второй раз предлагает дележ пирога сестра: долю β2 себе, а брату - (1- β2). Если брат согласен, то пирог в таком отношении и делится, при этом ценность его для брата составляет с учетом дисконтирования уже только , а для сестры . Если брат соглашается с дележем, то игра заканчивается.
Если же брат не соглашается, то к тому моменту, когда они закончат ссорится возвращается мама, и обнаружив до сих пор неподеленный пирог съедает его целиком сама.
а) Нарисуйте дерево игры
б) В чем состоят стратегии игроков в этой игре? «Сколько» их у каждого? Сколько у каждого из игроков информационных множеств?
в) Решите игру обратной индукцией. Кто оказался в выигрыше – брат или сестра? А какую полезность от пирога каждый получил? (Учтите, что после того, как исход игры ясен- нет смысла ее проводить до конца – решение достигается на первом же этапе!) А если бы первой делила сестра, то какие выигрыши были бы тогда?
г) Можете ли вы сказать - как бы дети поделили пирог, если бы мама не вмешивалась в их спор, и они могли бы делить пирог до бесконечности (теоретически)?
3. Фирмы максимизируют прибыль, при этом предельные издержки равны (одинаковы у обеих фирм).
Фирмы конкурируют между собой по Бертрану, но первая фирма является лидером - она определяет уровень цен на свой товар, после чего свое решение принимает вторая фирма.
а) Выпишите реакцию второй фирмы на решение первой (функцию наилучшего ответа). Изобразите ее графически
б) Найдите методом обратной индукции равновесие по Нэшу в этой задаче. Прокомментируйте ответ - есть ли возможность присутствия на рынке обеих фирм? У какой фирмы прибыль оказалась больше? Как выдумаете - почему?